Родился 16 июня 1973 г. в Москве. Отец - Валерий Алексеевич Шапошников (род. 1945), заслуженный юрист РФ, депутат Мосгордумы в 2004-2014 гг.
В 1990-1992 гг. Алексей Шапошников учился на военно-юридическом факультете Военного Краснознаменного института Министерства обороны СССР/РФ (ныне - Военный университет Министерства обороны РФ).
В 1995 г. окончил юридический факультет Московской государственной юридической академии им. О. Е. Кутафина (ныне - университет) по специальности "юриспруденция", в 2003 г. - Российскую академию государственной службы при президенте РФ (ныне - Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ) по специальности "политология".

Кандидат юридических наук. В 2003 г. защитил диссертацию на тему "Правовые основы финансирования и финансового контроля избирательных кампаний и деятельности избирательных комиссий".

В 1990-х - 2000-х гг. возглавлял ОАО "Фонд социальной защиты военнослужащих и работников органов безопасности "Профи".
Одновременно занимался политической деятельностью. С 1995 г. участвовал в организации и проведении избирательных кампаний разного уровня (выборы президента РФ, депутатов Госдумы, мэра Москвы и Московской городской думы). В 2000 г. был заместителем руководителя избирательного штаба кандидата в президенты РФ Владимира Путина в Северо-Восточном административном округе Москвы.
В 2002-2005 гг. являлся руководителем исполнительного комитета, председателем координационного совета Московского регионального отделения общероссийской общественной организации "Молодежное единство" (с 2005 г. - "Молодая гвардия Единой России").
С 2003 г. работал консультантом в секретариате руководителя аппарата Госдумы РФ.
7 декабря 2003 г. баллотировался в Госдуму РФ IV созыва по списку партии "Единство и Отечество - Единая Россия" (под №13 в Московской региональной группе). По итогам распределения депутатских мандатов в Думу не прошел.
В 2004 г. был заместителем председателя Московской региональной контрольно-ревизионной комиссии партии "Единая Россия".
В 2005 г. стал федеральным координатором "Молодой гвардии Единой России", начальником Московского регионального штаба организации.
В 2006-2014 гг. - заместитель генерального директора московского ОАО "Северянин".
В 2007 г. назначен заместителем руководителя центрального Межрегионального координационного совета "Единой России" по работе
с молодежью.
2 декабря 2007 г. участвовал в выборах депутатов Госдумы РФ V созыва по списку партии "Единая Россия" (№19 в региональной группе №80, Москва). В нижнюю палату парламента вновь не прошел.
В 2009-2010 гг. был ведущим ряда программ на телеканале "Столица" ("Люди мегаполиса", "Город и люди" и др.).
В 2010-2012 гг. работал в Общественном консультативном совете политических партий при Мосгордуме (от "Единой России").
С 2010 г. руководил автономной некоммерческой организацией "Институт политических инноваций" (Москва).
4 марта 2012 г. избран в Совет депутатов муниципального округа "Ростокино" г. Москвы (Северо-Восточный административный округ), получив в свою поддержку 43,13% голосов избирателей. В выборах участвовал в порядке самовыдвижения, в Совете работал на непостоянной основе. В том же году был избран главой муниципального округа "Ростокино".
С 2012 г. возглавлял ассоциацию "Совет муниципальных образований города Москвы".
14 сентября 2014 г. одержал победу на выборах депутата Московской городской думы VI созыва по одномандатному избирательному округу №12 (районы Свиблово, Северное и Южное Медведково), получив 52,13% голосов. Баллотировался от "Единой России". Его ближайший соперник, кандидат от КПРФ Евгений Марченко, набрал 17,35%. В столичном парламенте Алексей Шапошников вошел в состав фракции "Единая Россия". 24 сентября того же года был избран председателем Мосгордумы. Сменил на этом посту Владимира Платонова, занимавшего должность спикера с 1994 г.
В 2017 г. стал председателем совета законодателей Центрального федерального округа.
8 сентября 2019 г. вновь избран депутатом Мосгордумы VII созыва по одномандатному округу №12. За него проголосовали 40,83% избирателей (в выборах участвовал в порядке самовыдвижения при поддержке "Единой Россией"). Второе место в округе занял кандидат от КПРФ, ведущий научный сотрудник ВНИИ рыбного хозяйства и океанографии Александр Ефимов (37,56%). 19 сентября того же года на первом заседании столичного парламента Алексей Шапошников вновь был избран председателем Мосгордумы.

Член президиума регионального политического совета Московского городского отделения партии "Единая Россия".
Преподает политологию в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ.
Один из разработчиков программы "Московский молодежный парламентаризм", участвовал в создании Молодежной общественной палаты РФ.