Родился 14 января 1954 г. в Горьковской области (СССР).
1980 г. – окончил факультет экономики и права (отделение права) Университета дружбы народов им. П. Лумумбы по специальности «Международное право».
1984 г. – защитил кандидатскую диссертацию в Университете дружбы народов им. П. Лумумбы, в 2001 г. – докторскую диссертацию на тему «Международно-правовые проблемы природы и действия права Европейского Союза» в Московской государственной юридической академии.
1983-1995 гг. – работал в Университете дружбы народов им. П. Лумумбы сначала в качестве ассистента, а позже доцента кафедры международного права.
1995 г. – Анатолий Яковлевич был избран деканом юридического факультета РУДН, должность которого занимал до 2010 г. Параллельно (2000-2010 гг.) являлся заведующим кафедры международного права РУДН.
2007-2014 гг. – член Экспертного совета по праву Высшей аттестационной комиссии России.
С 2008 г. А.Я. Капустин является президентом Российской ассоциации международного права и вице-президентом Международного союза юристов. Член Исполнительного совета Всемирной ассоциации международного права (Великобритания) с 2006 г.
2010 г. – Анатолий Яковлевич возглавил Центр сравнительно-правовых исследований Института законодательства и сравнительного правоведения при Правительстве Российской Федерации.
2012 г. – утвержден в должности председателя Комиссии международного права при Ассоциации юристов России и заместителя председателя Совета по совершенствованию законодательства при Государственной Думе Федерального Собрания Российской Федерации.
С 2014 г. Анатолий Капустин является первым заместителем директора Института законодательства и сравнительного правоведения при Правительстве Российской Федерации. В том же году утвержден в должности заместителя председателя Комиссии по науке Ассоциации юристов России.
С апреля 2018 г. - заместитель директора Института законодательства и сравнительного правоведения при Правительстве Российской Федерации.